Modélisation mathématique

Depuis des siècles l’homme cherche à améliorer et à rendre les bateaux le plus performant possible .

Au début de la navigation, le seul moyen de déterminer si un bateau avait de meilleurs performances qu’un autre, était de tester à échelle réelle ces bateaux. De comparer leurs résultats, de déterminer quels paramètres influaient sur les performances du bateau, pour ensuite améliorer les nouveaux bateaux en s’inspirant des réussites précédantes .

On pourrait se dire que grâce aux sciences et à l’informatique on parviendrait à construire des bateaux uniquement grâce aux formules mathématiques et physiques. Cependant des variables aléatoires non contrôlables, comme le vent, empêchent ces réalisations. Il a donc fallu trouver une solution. Comme nous ne pouvons pas envisager de faire des essais grandeurs réelles, alors on utilise la modélisation mathématique.

Selon le sens étudié de la modélisation, le modèle mathématique peut s’exercer :

• soit du modèle vers le réel on parle alors de modèles prédictifs

• soit du réel vers le modèle on parle donc de modèles descriptifs.

Si l’on effectue une expérience et que l’on reporte toutes les données trouvées sur un graphique on aura donc un « nuage de point » le but de la modélisation est de tracer une courbe passant par le plus de point possible appartenant à ce nuage.

Plusieurs modèles mathématiques existent. Les plus courants sont élaborés avec les méthodes de régression.

Nous parlerons ici de la régression linéaire : elle correspond à un ensemble de méthodes statistiques pour analyser le lien d’une variable par rapport a une ou plusieurs autres variables, avec une relation linéaire de type Y=aX+b

On l’utilise par exemple pour étalonner un appareil de mesure simple (le thermomètre) dont le fonctionnement est linéaire.

Droite du type y=ax+b

Mi correspond ici aux données expérimentales et Pi aux données modélisées.Le point Mi a pour coordonnées (xi ;yi) et le point Pi est le point de coordonnée (xi ;axi+b) appartenant à la droite.

On note la distance entre Mi et Pi qui est égale à :

Pour optimiser les valeurs de a et b ( coefficients de la relation affine), on utilise la méthode des moindres carrés.

Le nuage de points est modélisé par une droite.

Cette méthode permet de minimiser les carrés des distances entre chaque point de la série avec le modèle y= ax+b.

La mesure de la corrélation entre les données et un modèle calculé se fait par le calcul du coefficient de corrélation noté (r). Ce coefficient est compris entre -1 et +1, en sachant que si il est égale à 1, le modèle est considéré comme le modèle parfait.

Nous pouvons calculer le coefficient de corrélation linéaire à l’aide de la formule :

Avec

Une fois le coefficient (r) calculé nous pouvons facilement évaluer la force du lien linéaire.

En voici une formule simplifié :

Schéma simplifié pour évaluer le coefficient de corrélation r

Avec

l = largeur du rectangle

L = longueur du rectangle

Par exemple, considérons la force de trainée précédemment étudiée, qui peut être calculée à partir de la formule

Relation 1

Le modèle mathématique correspondant est de type :

Avec

Voici le calcul pour le trimaran Spindrift 2:

Ce graphique nous montre que plus le bateau avance vite, plus la force de trainée augmente. Cela nous montre que la force de traînée joue donc un rôle important sur la vitesse et qu’il faut trouver un moyen de la contrer par exemple avec le foil.

Pour utiliser la régression linéaire, il faut linéariser la relation 1 à l’aide de la fonction Ln (logarithme népérien).

D’après ce graphique nous remarquons que le coefficient de corrélation est de 0,97471 donc la force du lien linéaire est forte (car proche de 1).

Cela signifie que le modèle linéaire est adapté pour la relation entre Ln Tf et Ln v.

Grâce à notre experience réalisée, nous pouvons utiliser les données afin de trouver un modèle mathématique.

La modélisation mathématique montre bien que la masse a une influence sur la vitesse d'un bateau.

Il faut cependant retenir qu’un modèle n'est jamais parfait, ni totalement représentatif de la réalité : le choix des paramètres et des relations qui les lient éclaire la finalité.

De plus certains paramètre sont inconnues ou difficile a modéliser grâce aux outils mathématiques.

Maitenant que nous savons comment optimiser la vitesse du bateau, il est temps de comparer nos deux bateaux.

Ici le comparatif.