Modélisation mathématique 2
On pourrait se dire que grâce aux sciences et à l’informatique on pourrait construire des bateaux uniquement grâce aux formules mathématiques et physiques, mais des variables aléatoires non contrôlables (comme le vent, la taille des vagues ...) empêchent ces réalisations. Il faut donc trouver une solution.
Comme nous ne pouvons pas envisager de faire des essais grandeur réelle, nous utilisons la modélisation mathématique.
Selon le sens étudié de la modélisation, le modèle mathématique peut s’exercer :
soit du modèle vers le réel : on parle alors de modèles prédictifs
soit du réel vers le modèle : on parle donc de modèles descriptifs.
Si nous effectuons une expérience et que nous reportons toutes les données trouvées sur un graphique, on obtient un « nuage de point ». Le but de la modélisation est de tracer une courbe passant par le plus de points possibles appartenant à ce nuage.
Plusieurs outils mathématiques peuvent être utilisés pour la modélisation.
Nous parlerons ici des méthodes de régression.
La plus courante est dite « régression linéaire » : elle correspond à un ensemble de méthodes statistiques pour analyser le lien d’une variable par rapport à une ou plusieurs autres variables, avec une relation linéaire de type Y=aX+b
Nous l’utilisons par exemple pour étalonner un appareil de mesure simple (le thermomètre) dont le fonctionnement est linéaire.
Ensuite, nous avons la méthode de corrélation : elle permet d’associer plusieurs variables quand elles ont un comportement commun.
Le type le plus courant est la relation affine. Nous le calculons au travers d’une régression linéaire.
La mesure de la corrélation entre les deux se fait par le calcul du coefficient de corrélation linéaire noté (r). Ce coefficient est compris entre -1 et +1, en sachant que si il est égale à 1, le modèle est considéré comme le modèle parfait.
Nous pouvons calculer le coefficient de corrélation linéaire à l’aide de la formule :
Avec
En voici une formule simplifié
Une fois le coefficient (r) trouvé nous pouvons facilement évaluer la force du lien linéaire.
Schéma simplifié pour évaluer le coefficient de corrélation r
Avec
l = largeur du rectangle
L = longueur du rectangle
Droite du type y=ax+b
Mi correspond ici aux données expérimentales et Pi aux données modélisées.
Le point Mi a pour coordonnées (xi ;yi) et le point Pi est le point de coordonnée (xi ;axi+b) appartenant à la droite.
On note la distance entre Mi et Pi qui est égale à :
La méthode des moindres carrés, qui permet de comparer des données dites « expérimentales ». Elle est en lien avec la régression linéaire car elle est fortement utilisée pour les fonctions affines telles que : f(x)= ax+b.
Cette méthode permet de minimiser les carrés des distances entre chaque point de la série.
On note cette somme :
Par exemple, considérons la force de trainée précédemment étudiée, qui peut être calculée à partir de la formule
Le modèle mathématique correspondant est de type :
Avec
Voici le calcul pour le trimaran Spindrift 2:
Ce graphique nous montre que plus le bateau avance vite, plus la force de trainée augmente. Cela nous montre que la force de traînée joue donc un rôle important sur la vitesse et qu’il faut trouver un moyen de la contrer par exemple avec les foils.
Nous constatons qu’il ne s’agit pas d’une relation linéaire.
Pour utiliser le modèle mathématique nous allons linéariser cette fonction à l’aide de la fonction Ln (logarithme népérien).
D’après ce graphique nous remarquons que le coefficient de colinéarité est de 0,97471 donc la force du lien linéaire est forte (car proche de 1).
Cela signifie que le modèle linéaire est adapté pour la relation entre Ln Tf et Ln v.